En la teoría cuántica, ¿cuál es la diferencia entre un estado mixto adecuado y un estado mixto incorrecto?


Respuesta 1:

Según tengo entendido, un estado mixto adecuado es una combinación estadística de estados puros que son parte del experimento, mientras que un estado mixto incorrecto es donde parte del sistema ya no es parte del experimento (digamos, un rayo cósmico se enreda con su qubit y se va volando: lo que queda es un estado mixto incorrecto, ya que ya no tiene acceso a todo el estado).

Mientras investigaba esta pregunta, encontré esto - http: //arxiv.org/pdf/quant-ph/01 ... - que hace un argumento convincente de que los estados mixtos apropiados son físicamente imposibles; solo tienes estados puros y estados mixtos impropios.

Sobre cómo son importantes para comprender la medición, tendremos que esperar a alguien con algunos bra-kets de sobra; Estoy fuera Tal vez Allan Steinhardt :)


Respuesta 2:

La diferencia entre los estados mixtos propios e impropios es la diferencia entre aquellos que pueden interpretarse como derivados de la ignorancia del estado puro (mezclas propias) y aquellos que no pueden interpretarse de este modo (mezclas impropias). Estas mezclas inadecuadas surgen cuando examina un subsistema de un estado puro más grande.

La distinción es sutil, y no conozco una forma de explicarla sin el uso extensivo del aparato de operadores de matriz de densidad. Y este es un aparato que generalmente no forma parte de un primer curso de mecánica cuántica. Así que ten cuidado, esto podría ser un poco crujiente.

Basta de excusas, empecemos.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Donde hay incertidumbre acerca de en cuál de varios estados puros podría estar. Donde el sistema está abierto (es decir, es un subsistema de un sistema más grande).

Comenzamos introduciendo operadores de densidad a través de la primera situación:

La ignorancia del estado del sistema ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... o como subsistema de uno más grande:

Considere un estado enredado (un estado de giro EPR / Bell para este ejemplo). Este es un estado puro:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Entonces la matriz de densidad de este estado puro es simplemente:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Pero ahora digamos que solo se nos permite hacer mediciones del primer electrón. Para entender lo que esto daría, realizamos una operación llamada trazo parcial (que es efectivamente un método para rastrear todos los grados de libertad asociados con la segunda partícula), y obtenemos una matriz de densidad reducida que resume todos los posibles observables para la primera solo electrón:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Como decir la diferencia...

Aquí está el quid: esta matriz de densidad reducida es localmente indistinguible de la matriz de densidad que podría obtener al ignorar por completo si el sistema estaba en un estado puro hacia arriba o en un estado puro hacia abajo. Si asignara un 50% de probabilidad a cada posibilidad, el estado mixto adecuado resultante se vería igual:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

¿Por qué son importantes en la medición?

Podemos ver esto aplicando estas lecciones al proceso de decoherencia.

En decoherencia, un sistema cuántico se enreda con el sistema del aparato de medición, y los términos de interferencia (es decir, todos aquellos que no están en la diagonal de la base del "puntero" de ese aparato de medición) desaparecen rápidamente (casi a cero).

Luego puede tomar la traza parcial para observar la matriz de densidad reducida para el sistema. Y, como en el ejemplo anterior, esta matriz de densidad reducida es indistinguible de la matriz de densidad preparada por alguien que simplemente ignora en qué estado de puntero puro han preparado el sistema.

¡Entonces, uno podría estar tentado a decir que el problema de medición ha sido resuelto! Simplemente interpretemos la matriz de densidad reducida como una mezcla pura, es decir, como nuestra ignorancia de la posición del puntero. Entonces podemos averiguarlo mirando el puntero.

Pero esto es interpretar una mezcla inadecuada como si fuera una mezcla adecuada.

O, dicho de otra manera, está interpretando un "y" como un "o". Todos los estados puros del puntero todavía están en la función de onda más grande (es decir, en el sistema completo), y debemos mostrar por qué los otros desaparecen (y recuerden, esta desaparición está en contradicción con la evolución unitaria). Aún no lo hemos hecho.

¿Qué quieren decir las personas cuando dicen que la decoherencia resuelve el problema de medición?

Ahora, si eres una persona de Everettian / muchos mundos, esto te deja exactamente donde quieres estar. Puede aceptar completamente que la decoherencia da un "y", no un "o" en la matriz de densidad reducida. La gente de Everettian / muchos mundos puede tomar esa conclusión completamente en serio e interpretar que la matriz de densidad reducida expresa lo que "usted" ve en su rama, pero acepta absolutamente que todos los demás estados de puntero también se realizan.

Todos los que NO acepten a Everett deben agregar una cuenta de cómo se selecciona un solo estado de puntero de la matriz de densidad reducida (incluso la escuela "cállate y calcula" tiene que hacerlo, aunque presumiblemente dicen "Cállate y selecciona uno con una probabilidad dada por la regla de Born ")

El problema es que hay algunas personas que parecen argumentar seriamente que la decoherencia resuelve el problema de medición por sí solo. Tomándolos en su palabra, esto equivale a comprometerse con la interpretación de Everett. Pero a veces es difícil entender si aceptan tácitamente la visión de los mundos Everett / Many, o si simplemente han cometido el error de combinar mezclas apropiadas e incorrectas.


Respuesta 3:

La diferencia entre los estados mixtos propios e impropios es la diferencia entre aquellos que pueden interpretarse como derivados de la ignorancia del estado puro (mezclas propias) y aquellos que no pueden interpretarse de este modo (mezclas impropias). Estas mezclas inadecuadas surgen cuando examina un subsistema de un estado puro más grande.

La distinción es sutil, y no conozco una forma de explicarla sin el uso extensivo del aparato de operadores de matriz de densidad. Y este es un aparato que generalmente no forma parte de un primer curso de mecánica cuántica. Así que ten cuidado, esto podría ser un poco crujiente.

Basta de excusas, empecemos.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Donde hay incertidumbre acerca de en cuál de varios estados puros podría estar. Donde el sistema está abierto (es decir, es un subsistema de un sistema más grande).

Comenzamos introduciendo operadores de densidad a través de la primera situación:

La ignorancia del estado del sistema ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... o como subsistema de uno más grande:

Considere un estado enredado (un estado de giro EPR / Bell para este ejemplo). Este es un estado puro:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Entonces la matriz de densidad de este estado puro es simplemente:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Pero ahora digamos que solo se nos permite hacer mediciones del primer electrón. Para entender lo que esto daría, realizamos una operación llamada trazo parcial (que es efectivamente un método para rastrear todos los grados de libertad asociados con la segunda partícula), y obtenemos una matriz de densidad reducida que resume todos los posibles observables para la primera solo electrón:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Como decir la diferencia...

Aquí está el quid: esta matriz de densidad reducida es localmente indistinguible de la matriz de densidad que podría obtener al ignorar por completo si el sistema estaba en un estado puro hacia arriba o en un estado puro hacia abajo. Si asignara un 50% de probabilidad a cada posibilidad, el estado mixto adecuado resultante se vería igual:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

¿Por qué son importantes en la medición?

Podemos ver esto aplicando estas lecciones al proceso de decoherencia.

En decoherencia, un sistema cuántico se enreda con el sistema del aparato de medición, y los términos de interferencia (es decir, todos aquellos que no están en la diagonal de la base del "puntero" de ese aparato de medición) desaparecen rápidamente (casi a cero).

Luego puede tomar la traza parcial para observar la matriz de densidad reducida para el sistema. Y, como en el ejemplo anterior, esta matriz de densidad reducida es indistinguible de la matriz de densidad preparada por alguien que simplemente ignora en qué estado de puntero puro han preparado el sistema.

¡Entonces, uno podría estar tentado a decir que el problema de medición ha sido resuelto! Simplemente interpretemos la matriz de densidad reducida como una mezcla pura, es decir, como nuestra ignorancia de la posición del puntero. Entonces podemos averiguarlo mirando el puntero.

Pero esto es interpretar una mezcla inadecuada como si fuera una mezcla adecuada.

O, dicho de otra manera, está interpretando un "y" como un "o". Todos los estados puros del puntero todavía están en la función de onda más grande (es decir, en el sistema completo), y debemos mostrar por qué los otros desaparecen (y recuerden, esta desaparición está en contradicción con la evolución unitaria). Aún no lo hemos hecho.

¿Qué quieren decir las personas cuando dicen que la decoherencia resuelve el problema de medición?

Ahora, si eres una persona de Everettian / muchos mundos, esto te deja exactamente donde quieres estar. Puede aceptar completamente que la decoherencia da un "y", no un "o" en la matriz de densidad reducida. La gente de Everettian / muchos mundos puede tomar esa conclusión completamente en serio e interpretar que la matriz de densidad reducida expresa lo que "usted" ve en su rama, pero acepta absolutamente que todos los demás estados de puntero también se realizan.

Todos los que NO acepten a Everett deben agregar una cuenta de cómo se selecciona un solo estado de puntero de la matriz de densidad reducida (incluso la escuela "cállate y calcula" tiene que hacerlo, aunque presumiblemente dicen "Cállate y selecciona uno con una probabilidad dada por la regla de Born ")

El problema es que hay algunas personas que parecen argumentar seriamente que la decoherencia resuelve el problema de medición por sí solo. Tomándolos en su palabra, esto equivale a comprometerse con la interpretación de Everett. Pero a veces es difícil entender si aceptan tácitamente la visión de los mundos Everett / Many, o si simplemente han cometido el error de combinar mezclas apropiadas e incorrectas.